Question

3．已知函数f（x）对任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．且当x＞0时，f（x）＜0，求f（x）的单调性．

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系进行证明即可．

解答 解：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数，
设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
则f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函数为减函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键．