Question

1．已知函数f（x）=ln$\frac{x}{1-x}$，若f（a）+f（b）=0，且0＜a＜b，则ab的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 利用函数关系式得出ln$\frac{a}{1-a}$$+ln\frac{b}{1-b}$=0，即$\frac{a}{1-a}$$•\frac{b}{1-b}$=1．a+b=1，考虑基本不等式求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=ln$\frac{x}{1-x}$，若f（a）+f（b）=0，
∴ln$\frac{a}{1-a}$$+ln\frac{b}{1-b}$=0，
即$\frac{a}{1-a}$$•\frac{b}{1-b}$=1．
化简得出：a+b=1，又0＜a＜b，
利用基本不等式得出：ab$＜\frac{（a+b）^{2}}{4}$=1．ab＞0，
∴ab的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考察了对数函数的性质，基本不等式的性质，属于综合题目，但是化简难度不大．