Question

4．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β-α＜π，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（β-α）=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求cosβ的值；
（2）求β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sin（（β-α）的值，再根据cosβ=cos[（β-α）+α]利用两角和的余弦公式求得它的值．
（2）根据（1）可得cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再结合π＜β＜2π，求得β的值．

解答 解：（1）∵已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β-α＜π，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（β-α）=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（（β-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-α）}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）根据（1）可得cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
再根据 $\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β-α＜π，可得π＜β＜2π，∴β=$\frac{7π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，根据三角函数的值求角，属于基础题．