Question

3．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2-a）（x-1）-2f（x）．
（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；
（2）设F（x）=f（x）+$\frac{b}{x+1}$（b＞0），对任意的x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，都有$\frac{F（{x}_{1}）-F（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，求实数b的取值范围；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x₀，y₀），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x₀）

Answer 1

分析 （1）当a=1时求出g′（x），然后在定义域内解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0，从而得到函数g（x）的单调区间；
（2）由$\frac{F（{x}_{1}）-F（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，可得$\frac{F（{x}_{1}）+{x}_{1}-[（F（{x}_{2}）+{x}_{2}）]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即h（x）=F（x）+x在[0，1]上为减函数，也就是h′（x）＜0在[0，1]上恒成立，转化为t（x）=x³+3x²+（3-b）x+1在[0，1]上小于0恒成立，再由导数分析满足此条件的b不存在；
（3）求出直线AB的斜率为k和f′（x₀），整理后把证明k＞f′（x₀）转化为证明$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．构造函数h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），利用导数证明该函数在（1，+∞）上为增函数证得结论．

解答 （1）解：当a=1时，g（x）=x-1-2lnx，则g′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
由g′（x）＞0，x＞2；g′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故g（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为（2，+∞）；
（2）解：由$\frac{F（{x}_{1}）-F（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1⇒$\frac{F（{x}_{1}）+{x}_{1}-[（F（{x}_{2}）+{x}_{2}）]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即h（x）=F（x）+x在[0，1]上为减函数．
由h（x）=F（x）+x=f（x）+$\frac{b}{x+1}$+x=lnx+$\frac{b}{x+1}$+x，得
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{（x+1）^{2}}$+1=$\frac{{x}^{2}+2x+1-bx+{x}^{3}+2{x}^{2}+x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{3}+3{x}^{2}+（3-b）x+1}{（x+1）^{2}}$，
要使h（x）=F（x）+x在[0，1]上为减函数，则
t（x）=x³+3x²+（3-b）x+1在[0，1]上小于0恒成立，
t′（x）=3x²+6x+3-b，
若t′（0）=3-b≥0，即b≤3，则t（x）在[0，1]上为增函数，∴t（1）=8-b＜0，b＞8，此时b不存在；
若t′（1）=12-b≥0，即b≤12，则t（x）在[0，1]上为减函数，∴t（0）=1＜0，矛盾；
若$\left\{\begin{array}{l}{t′（0）=3-b＜0}\\{t′（1）=12-b＞0}\end{array}\right.$，即3＜b＜12，则$\left\{\begin{array}{l}{t（0）=1＜0}\\{t（1）=8-b＜0}\end{array}\right.$，b不存在．
综上，满足条件的实数b不存在；
（3）证明：不妨设x₁＞x₂＞0，
则k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，f′（x₀）=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
证明k＞f′（x₀）转化为证明$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
即证明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，令x=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，（x＞1），得：lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$＞0，
令h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），则h′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$．
∴h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（1）=0．
∴k＞f′（x₀）．

点评 本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，是压轴题．