Question

（本小题12分）某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元.经预测知，当售出这种产品百件时，若，则销售所得的收入为万元：若，则销售收入为万元.
(1)若该公司的这种产品的年产量为百件，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年生产量的函数；
(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？

Answer 1

（1）
（2）当年产量为4.75（百件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元.

试题分析：（1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；
（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值，即当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润．
解：（1）当时，=
当时，

（2）当时，==
当时，
当时，
当年产量为4.75（百件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元.
点评：解决该试题的关键是函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值。