题目内容

(本小题满分12分)设某物体一天中的温度是时间的函数:,其中温度的单位是,时间单位是小时,表示12:00,取正值表示12:00以后.若测得该物体在8:00的温度是,12:00的温度为,13:00的温度为,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率.
(1)写出该物体的温度关于时间的函数关系式;
(2)该物体在10:00到14:00这段时间中(包括10:00和14:00),何时温度最高,并求出最高温度;
(3)如果规定一个函数在区间上的平均值为,求该物体在8:00到16:00这段时间内的平均温度.
(1)(2)11:00和14:00时,该物体的温度最高,最高温度为(3)在8:00到16:00这段时间的平均温度为

试题分析:(1)根据条件,得
可以解得
.                                              ……4分
(2)
时,
时,
在区间上单调递增,在上单调递减,即是极大值点.……8分

在10:00到14:00这段时间中,11:00和14:00时,该物体的温度最高,最高温度为
(3)按规定,平均温度为
即该物体在8:00到16:00这段时间的平均温度为.                       ……12分
点评:利用导数求解实际生活中的最值问题是高考常考考点,主要是函数模型的建立,对函数解析式的求导,判断单调性,求最值等.问题背景虽然各不相同,但函数模型有限,要总结规律,找出共同的分析思路和一般的解决方法,做到思路清晰,解法成熟,胸有成竹.
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