题目内容
【题目】已知椭圆C: 的左焦点为F(-1,0),经过点F的直线l0与椭圆交于A,B两点.当直线l0⊥x轴时,|AB|=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)作直线l⊥x轴,分别过A,B作AA1⊥l,垂足为A1,BB1⊥l,垂足为B1,且△A1FB1是直角三角形.问:是否存在直线l使得∠A1FO=2∠B1FO?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在符合题意的直线l:x=-1+.
【解析】试题分析:(1)先求AB,得 ,再结合c=1解得a2=2,b2=1.(2)先根据条件确定∠A1FO=2∠B1FO=60°.再根据韦达定理求出l0方程,最后根据△A1FB1是直角三角形求出直线l的方程
试题解析:(1)由题意可知c=1,=.
又因为a2=b2+c2,
解得a2=2,b2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)不妨设点A在x轴上方,由题意可知∠A1FB1=90°,要使∠A1FO=2∠B1FO,则当且仅当∠A1FO=2∠B1FO=60°.
即tan∠A1FO=,tan∠B1FO=.
设直线l与x轴交于点H,则|A1H|=3|B1H|.
设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=m,
则A1(m,y1),B1(m,y2).
所以y1=-3y2,①
又1=(m+1,y1),FB=(m+1,y2),
由A1F⊥B1F,得FA·FB=0,即(m+1)2+y1y2=0.
由题意可知,AB不与y轴垂直,所以可设l0的方程为:x=ty-1,代入椭圆方程+y2=1得(t2+2)y2-2ty-1=0.
易知Δ=4t2+4(t2+2)>0恒成立.
则y1y2=-,②
y1+y2=.③
由①③可得y1=,y2=,④
将④代入②中可得=,解得t2=1.
因此y1y2=-,
从而m=-1±,由题意可知直线l在焦点F的右侧,所以存在符合题意的直线l:x=-1+.