Question

【题目】已知椭圆C： 的左焦点为F(－1，0)，经过点F的直线l0与椭圆交于A，B两点.当直线l0⊥x轴时，|AB|＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)作直线l⊥x轴，分别过A，B作AA1⊥l，垂足为A1，BB1⊥l，垂足为B1，且△A1FB1是直角三角形.问：是否存在直线l使得∠A1FO＝2∠B1FO？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)存在符合题意的直线l：x＝－1＋.

【解析】试题分析：（1）先求AB，得 ，再结合c=1解得a2＝2，b2＝1.（2）先根据条件确定∠A1FO＝2∠B1FO＝60°.再根据韦达定理求出l0方程，最后根据△A1FB1是直角三角形求出直线l的方程

试题解析：(1)由题意可知c＝1，＝.

又因为a2＝b2＋c2，

解得a2＝2，b2＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)不妨设点A在x轴上方，由题意可知∠A1FB1＝90°，要使∠A1FO＝2∠B1FO，则当且仅当∠A1FO＝2∠B1FO＝60°.

即tan∠A1FO＝，tan∠B1FO＝.

设直线l与x轴交于点H，则|A1H|＝3|B1H|.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝m，

则A1(m，y1)，B1(m，y2).

所以y1＝－3y2，①

又1＝(m＋1，y1)，FB＝(m＋1，y2)，

由A1F⊥B1F，得FA·FB＝0，即(m＋1)2＋y1y2＝0.

由题意可知，AB不与y轴垂直，所以可设l0的方程为：x＝ty－1，代入椭圆方程＋y2＝1得(t2＋2)y2－2ty－1＝0.

易知Δ＝4t2＋4(t2＋2)>0恒成立.

则y1y2＝－，②

y1＋y2＝.③

由①③可得y1＝，y2＝，④

将④代入②中可得＝，解得t2＝1.

因此y1y2＝－，

从而m＝－1±，由题意可知直线l在焦点F的右侧，所以存在符合题意的直线l：x＝－1＋.