题目内容

【题目】已知椭圆C 的左焦点为F(10),经过点F的直线l0与椭圆交于AB两点.当直线l0x轴时,|AB|.

(1)求椭圆C的方程;

(2)作直线lx轴,分别过ABAA1l,垂足为A1BB1l,垂足为B1,且△A1FB1是直角三角形.问:是否存在直线l使得∠A1FO2B1FO?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

【答案】(1) ;(2)存在符合题意的直线lx=-1.

【解析】试题分析:(1)先求AB,得 ,再结合c=1解得a22b21.2先根据条件确定A1FO2B1FO60°.再根据韦达定理求出l0方程,最后根据△A1FB1是直角三角形求出直线l的方程

试题解析:(1)由题意可知c1.

又因为a2b2c2

解得a22b21.

所以椭圆C的方程为y21.

(2)不妨设点Ax轴上方,由题意可知∠A1FB190°,要使∠A1FO2B1FO,则当且仅当∠A1FO2B1FO60°.

tanA1FOtanB1FO.

设直线lx轴交于点H,则|A1H|3|B1H|.

A(x1y1)B(x2y2)lxm

A1(my1)B1(my2).

所以y1=-3y2

1(m1y1)FB(m1y2)

A1FB1F,得FA·FB0,即(m1)2y1y20.

由题意可知,AB不与y轴垂直,所以可设l0的方程为:xty1,代入椭圆方程y21(t22)y22ty10.

易知Δ4t24(t22)>0恒成立.

y1y2=-

y1y2.

由①③可得y1y2

将④代入②中可得,解得t21.

因此y1y2=-

从而m=-,由题意可知直线l在焦点F的右侧,所以存在符合题意的直线lx=-1.

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