Question

16．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），记∠COA=α．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）由三角形AOB为等边三角形，得到∠AOB=60°，表示出∠COB，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（Ⅰ）∵A的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴根据三角函数的定义可知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$=$\frac{1+2sinαcosα}{2co{s}^{2}α}$=$\frac{49}{18}$；
（Ⅱ）∵△AOB为正三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠COA=α，
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．