Question

【题目】为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长 米．
（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；
（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由已知及正弦定理得 ，

即 ，

∴

（2）解：设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，

在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2ACCBcos120°，即 ，

∴ ，

故x+y≤120，当且仅当x=y=60时，x+y取得最大值，

∴当A、B两点各距C点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为 ．

【解析】（1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，利用余弦定理可求 ，结合基本不等式可求x+y≤120，从而可求观光道路总长度最长值．