题目内容

【题目】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn , 且a2a3=a5 , S4=10S2
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(2n﹣1)an , 求数列{bn}的前n项和Tn

【答案】
(1)解:正项等比数列{an}的公比设为q,

由a2a3=a5,S4=10S2

可得a12q3=a1q4,a1(1+q+q2+q3)=10a1(1+q),

解得a1=q=3,(q=1舍去),

则an=a1qn﹣1=3n


(2)解:bn=(2n﹣1)an=(2n﹣1)3n

前n项和Tn=13+332+…+(2n﹣1)3n

3Tn=132+333+…+(2n﹣1)3n+1

相减可得﹣2Tn=13+2(32+…+3n)﹣(2n﹣1)3n+1

=3+2 ﹣(2n﹣1)3n+1

化简可得Tn=3+(n﹣1)3n+1


【解析】(1)正项等比数列{an}的公比设为q,运用等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,进而得到所求通项;(2)bn=(2n﹣1)an=(2n﹣1)3n,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理,即可得到所求和.

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