题目内容

4.设函数f(x)=$\frac{1}{2a}{x^2}$-lnx,其中a=1为大于零的常数.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)>2恒成立,求a的取值范围.

分析 (1)将a=1代入函数f(x)的解析式,求出函数的导数,从而求出函数的单调区间;
(2)先求出函数的导数,问题转化为求函数f(x)在[1,2]上的最小值f(x)min>2,通过讨论a的范围,得到函数的单调区间,得到关于函数最小值的解析式,求出a的值即可.

解答 解:(1)当a=1时,f′(x)=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$,
令f′(x)>0,得,x>1,令f′(x)<0,得0<x<1,
故函数,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),减区间为(0,1),
从而f(x)在(0,+∞)的极小值为f(1)=$\frac{1}{2}$,f(x)无极大值.
(2)f′(x)=$\frac{1}{a}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{ax}$(x>0),
f(x)在[1,2]上恒成立?f(x)在[1,2]上的最小值f(x)min>2,
∵a>0,∴令f′(x)=0,解得:x=$\sqrt{a}$;
①当0<$\sqrt{a}$≤1,即0<a≤1时,函数f(x)在[1,2]上递增,
f(x)的最小值是f(1)=$\frac{1}{2a}$>2,解得:0<a<$\frac{1}{4}$,
②当$\sqrt{a}≥2,即a≥4时,函数f(x)在[1,2]上递减,f(x)的最小值为f(2)=\frac{2}{a}-ln2>2,无解$.$\sqrt{a}≥2,即a≥4时,函数f(x)在[1,2]上递减,f(x)的最小值为f(2)=\frac{2}{a}-ln2>2,无解$.
③当1<$\sqrt{a}$<2,即1<a<4时,函数f(x)在[1,$\sqrt{a}$]递减,在[$\sqrt{a}$,2]递增,
所以f(x)的最小值是f($\sqrt{a}$)=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lna>2,无解;
综上,所求a的取值范围为(0,$\frac{1}{4}$).

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是一道中档题.

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