Question

【题目】在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，AB⊥CD，AB＝10，CD＝6．

（1）问在AB上是否存在点E，使得AB⊥平面ECD？

（2）如果S△ABC＝S△ABD＝30，求二面角C﹣AB﹣D的大小．

（3）求三棱锥A﹣BCD体积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）40

【解析】

（1）利用线面垂直的判定方法可得；

（2）根据两个三角形面积相等可得DE,CE的长度，从而可得二面角；

（3）求出三棱锥A﹣BCD体积的表达式，利用二次函数知识可得.

（1）假设在AB上存在点E，使得AB⊥平面ECD，

∵在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，

AB⊥CD，AB＝10，CD＝6．作CE⊥AB，交AB于E，连结DE，

又CE∩CD＝C，∴AB⊥平面ECD．

（2）由（1）知AB⊥平面CDE，故AB⊥DE，AB⊥CE，∴CED为二面角C﹣AB﹣D的平面角，

∵AB＝10， S△ABC＝S△ABD＝30，∴，

解得DE＝CE＝6，又CD＝6，∴△CDE是等边三角形，∴∠CED＝60°，

即二面角C﹣AB﹣D的大小为60°．

（3）由（1）知AB⊥平面CDE，故VA﹣BCD＝S△CDEAB＝S△CDE，

∵△ABD和△ABC都是以AB为斜边的直角三角形，且由（1）知AB⊥平面CDE，

∴CE＝DE，设CE＝DE＝m，则E到CD的距离d＝，∴S△CDE＝，

∵△ABD是直角三角形，∴D在以AB为直径的圆上，故DE的最大值为AB＝5，

即0＜m≤5，∴S△CDE的最大值为12，

∴三棱锥A﹣BCD体积的最大值为 ．