Question

【题目】已知函数f(x)，k≠0，k∈R．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意，由函数的解析式分析可得的表达式，讨论的范围，分析与的关系，即可得结论；
（2）设 ，分析可得的范围，则 对的范围进行分情况讨论，讨论函数的单调性，求出的范围，综合即可得答案．

（1）根据题意，函数f(x)，其定义域为R，

f(-x)= ，当k=1时，有f（x）=f（﹣x），函数f（x）为偶函数，

当k≠1时，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函数f（x）为非奇非偶函数；

（2）设t=2x，x∈（﹣∞，0]，则有0＜t≤1，则y=，

当k＜0时，函数f（x）在R上递减，符合题意；

当k＞0时，t∈（0，）上时，函数y=递减，t∈（，+∞）上时，函数y=递增，若已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，必有≥1，解可得k≥1，

综合可得：t的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．