Question

9．在等差数列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22，
（1）数列{a_n}的前多少项和最大？
（2）求{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=23}\\{{a}_{1}+24d=-22}\end{array}\right.$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知，对n的值分n≤17、n≥18两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）依题意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=23}\\{{a}_{1}+24d=-22}\end{array}\right.$，
解得：a₁=50，d=-3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-3n+53，
令a_n＞0，得：n＜$\frac{53}{3}$，
∴当n≤17时a_n＞0，当n≥18时a_n＜0，
∴数列{a_n}的前17项和最大；
（2）由（1）可知：需对n的值进行讨论：
①当n≤17时，$|{a_1}|+|{a_2}|+…+|{a_n}|={a_1}+{a_2}+…+{a_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{103}{2}n$；
②当n≥18时|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n
=2（a₁+a₂+…+a₁₇）-（a₁+a₂+…+a_n）
=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{103}{2}n+884$；
∴当n≤17，n∈N₊时，{|a_n|}前n项和为：-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n；
当n≥18，n∈N₊时，{|a_n|}前n项和为：$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884．
即数列{|a_n|}前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{103}{2}n，n≤17\\ \frac{3}{2}{n^2}-\frac{103}{2}n+884，n≥18\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．