Question

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinAsinC+c•cos²A=2a．
（1）求$\frac{sinC}{sinA}$的值；
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：sin²AsinC+sinC•cos²A=2sinA，整理可得sinC=2sinA，从而可求$\frac{sinC}{sinA}$的值．
（2）由（1）及正弦定理先得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由余弦定理从而可求a，c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵asinAsinC+c•cos²A=2a．
∴由正弦定理可得：sin²AsinC+sinC•cos²A=2sinA．
∴可得：sin²AsinC+sinC•（1-sin²A）=2sinA，整理可得sinC=2sinA，
∴$\frac{sinC}{sinA}$=2．
（2）∵由（1）$\frac{sinC}{sinA}$=2及正弦定理可得：c=2a，又cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+4a²-2×$a×2a×\frac{1}{4}$=4，解得：a=1，c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．