Question

1．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0．若直线l与曲线C相交于A、B两点，则|AB|=（　　）

• A． $3\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． 3
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立后利用弦长公式得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$，得y=$\sqrt{3}x$，
由ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0，得x²+y²-2y-3=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y-3=0}\end{array}\right.$，得$4{x}^{2}-2\sqrt{3}x-3=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-4•（-\frac{3}{4}）}=\sqrt{15}$．
故选：B．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，训练了弦长公式的应用，是基础题．