Question

18．已知函数f（x）=2cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+4cos²x-1，且f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{5}$，求sin（α+$\frac{3π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简函数可得：f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{5}$，解得cosα=-$\frac{3}{5}$，利用同角三角函数关系式可求sinα，利用两角和的正弦函数公式即可得解．

解答 解：∵f（x）=2cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+4cos²x-1=-2cos（$\frac{π}{3}$-2x）+2（1+cos2x）-1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=2cos[2（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]+1=2cosα+1=-$\frac{1}{5}$，解得：cosα=-$\frac{3}{5}$，sin$α=±\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=±$\frac{4}{5}$．
∴当sin$α=\frac{4}{5}$时，sin（α+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
当sin$α=-\frac{4}{5}$时，sin（α+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．