Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，4S_n-1²+a_n（4S_n-1+1）=0（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=（4n+2）b_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，c_n=$\frac{（2n+1）}{{2}^{n}}$T_n，求数列{c_n}的前n项和M_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1化简可知4S_nS_n-1=S_n-1-S_n，进而可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n-1}$，通过S_n=（4n+2）b_n、裂项可知b_n=$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加得T_n=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{2n+1}$，从而c_n=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，4S_n-1²+a_n（4S_n-1+1）=4S_n-1²+（S_n-S_n-1）（4S_n-1+1）
=4S_n-1²+S_n（4S_n-1+1）-S_n-1（4S_n-1+1）
=S_n（4S_n-1+1）-S_n-1
=0，
∴4S_nS_n-1=S_n-1-S_n，
∴4=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项、4为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+4（n-1）=4n-2，
∴S_n=$\frac{1}{4n-2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n-3}$=-$\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$不满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{-\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n-1}$，
∵S_n=（4n+2）b_n，
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{2（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{8}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{8}$•（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{2n+1}$，
∴c_n=$\frac{（2n+1）}{{2}^{n}}$T_n
=$\frac{（2n+1）}{{2}^{n}}$•$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{2n+1}$
=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴M_n=$\frac{1}{4}$（1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴$\frac{1}{2}$•M_n=$\frac{1}{4}$[1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$]，
两式相减得：$\frac{1}{2}$•M_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$]
=$\frac{1}{4}$•[$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$]
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$），
∴M_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+2}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．