Question

6．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，过点A和此抛物线顶点O的直线与准线交于点M，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求证：
（1）y₁y₂=-p²，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）直线MB平行于此抛物线的对称轴．

Answer 1

分析 （1）设直线为x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，代入抛物线y²=2px，得到y²-2pky-p²=0，由韦达定理得结论；
（2）证明M，B的纵坐标相同即可．

解答 证明：（1）抛物线y²=2px的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0）
设直线为x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，
代入抛物线y²=2px得：
y²=2p（ky+$\frac{p}{2}$），即y²-2pky-p²=0
由韦达定理得：y₁•y₂=-p²；x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）直线OA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，x=-$\frac{p}{2}$时，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{p}{2}$=-y₂，
∴直线MB平行于此抛物线的对称轴．

点评 本题考查直线与抛物线之间的关系，利用方程联立得到方程，根据根和系数的关系得到结论是关键．