Question

8．已知f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，它在区间[0，1）上单调递减，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性先求出函数在（-1，1）上为减函数，结合函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：∵f（1-a）+f（1-a²）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a²），
又∵f（x）是奇函数，则-f（1-a²）=f（a²-1），
∴f（1-a）＜f（a²-1），
又∵f（x）在区间[0，1）上是减函数，
则f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴有1-a＞a²-1；
又∵函数的定义域为（-1，1）；
∴-1＜1-a＜1，-1＜1-a²＜1；
综合有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜1-{a}^{2}＜1}\\{1-a＞{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，解可得0＜a＜1；
故a的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查不等式的求解，利用奇偶性与单调性的综合，将不等式进行转化是解决本题的关键．