题目内容
17.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),当0<x1<x2时,试比较f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)与$\frac{1}{2}$[f(x1)+f(x2)]的大小.分析 根据题意和对数函数的图象画出图象,根据图象即可得到答案.
解答 解:当a>1时,画出函数f(x)=logax的图象:
如图:A(x1、f(x1)),B(x2,f(x2)),
连结AB取中点为D,过D做x轴的垂线交图象与点C,
则C($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)),
D($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{1}{2}$[f(x1)+f(x2)]),
因为函数的图象是上凸的,
所以f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)>$\frac{1}{2}$[f(x1)+f(x2)];
当0<a<1时,同上画出函数的图象,
因为函数的图象是下凸的,
所以f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)<$\frac{1}{2}$[f(x1)+f(x2)].
点评 本题考查对数函数的图象,以及分类讨论思想、数形结合思想,属于中档题.
练习册系列答案
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