Question

9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x，若对于任意的x∈[a，a+2]，均有f（x+a）≥f²（x），则实数a取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． $[-\frac{1}{2}，1）$
• C． $（-∞，-\frac{3}{2}]$
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根据函数为偶函数，求出函数f（x）的表达式，然后将不等式f（x+a）≥f²（x）化简，对a进行讨论，将x解出来，做到参数分离，由恒成立思想，即可求出a的范围．

解答 解：由题意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$
（1）当a≥0时，即有2^x+a≥2^2x，x≤a，不合                        
（2）当a+2≤0时，即有$（\frac{1}{2}）^{x+a}$≥$（\frac{1}{2}）^{2x}$，x≥a，恒成立，a≤-2符合                 
（3）当-2＜a＜0时，若x+a＞0，则a+2≥-a，a≥-1由（1）得不合
若x＜0由（2）得成立，则x+a＜0，x＞0时恒成立，即$（\frac{1}{2}）^{x+a}$≥2^2x，x≤-$\frac{a}{3}$，
∴a+2≤-$\frac{a}{3}$，∴a$≤-\frac{3}{2}$，∴-2＜a≤-$\frac{3}{2}$
综上，实数a的取值范围a≤-$\frac{3}{2}$
故选：C．

点评 本题主要考查函数的奇偶性及运用，求出函数在定义域上的解析式是解题的关键，考查解决恒成立问题的常用方法：参数分离，必须掌握．