Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，求圆C的方程；
（2）若点M满足MA=2MO，求点M的轨迹方程；
（3）若圆C上存在点N，使NA=2NO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立直线l与直线y=x-1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，即可得到圆的方程；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹方程；
（3）点N的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由N在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答 解：（1）联立直线l：y=2x-4与直线y=x-1得圆心C（3，2），
∴圆C的方程是（x-3）²+（y-2）²=1．
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：x²+（y+1）²=4；
（3）点N的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点N在圆C上，C（a，2a-4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，
∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
解得：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

点评 此题考查了圆的方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．