Question

5．已知函数f（x）=log₂（x²-ax+2）．
（1）当函数f（x）在①定义域为R，②值域为R时，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有定义，且在该区间的值域为[1，3]，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当函数f（x）①定义域为R时，x²-ax+2＞0恒成立，故$\frac{8-{a}^{2}}{4}＞0$，解得实数a的取值范围；
当函数f（x）在值域为R时，x²-ax+2可以为任意正数，故$\frac{8-{a}^{2}}{4}≤0$，解得实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有定义，且在该区间的值域为[1，3]，则x²-ax+2＞0在区间[0，2]上恒成立，且x²-ax+2＞0在区间[0，2]上的值域为[2，8]，解得a的值．

解答 解：（1）当函数f（x）①定义域为R时，x²-ax+2＞0恒成立，
故$\frac{8-{a}^{2}}{4}＞0$，解得：a∈（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
当函数f（x）在值域为R时，x²-ax+2可以为任意正数，
故$\frac{8-{a}^{2}}{4}≤0$，解得：a∈（-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有定义，且在该区间的值域为[1，3]，
则x²-ax+2＞0在区间[0，2]上恒成立，且x²-ax+2＞0在区间[0，2]上的值域为[2，8]，
令g（x）=x²-ax+2，由g（0）=2，函数图象开口朝上，
故g（x）在区间[0，2]上为增函数，且g（2）=6-2a=8，
解得：a=-1．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．