题目内容
(本题满分14分)
如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且.
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:平面;(4分)
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.(4分
如图,已知是棱长为的正方体,点在上,点在上,且.
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:平面;(4分)
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.(4分
(1)略
(2)略
(3);
(1)如图,在上取点,使,连结,
,则,.
因为,,所以四边形,都为平行四边形.
从而,.
又因为,所以,故四边形是平行四边形,
由此推知,从而.
因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以,
.
因为,所以为平行四边形,从而.
又平面,所以平面.
(3)如图,连结
因为,,
所以平面,得.
于是是所求的二面角的平面角,即.
因为,所以
,
.
解法二:
(1)建立如图所示的坐标系,则,,,
所以,故,,共面.
又它们有公共点,所以四点共面.
(2)如图,设,则,
而,由题设得,
得.
因为,,有,
又,,所以,
,从而,.
故平面.
(3)设向量截面,
于是,.
而,,得,
,解得,,所以.
又平面,
所以和的夹角等于或(为锐角).
于是.
故.
,则,.
因为,,所以四边形,都为平行四边形.
从而,.
又因为,所以,故四边形是平行四边形,
由此推知,从而.
因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以,
.
因为,所以为平行四边形,从而.
又平面,所以平面.
(3)如图,连结
因为,,
所以平面,得.
于是是所求的二面角的平面角,即.
因为,所以
,
.
解法二:
(1)建立如图所示的坐标系,则,,,
所以,故,,共面.
又它们有公共点,所以四点共面.
(2)如图,设,则,
而,由题设得,
得.
因为,,有,
又,,所以,
,从而,.
故平面.
(3)设向量截面,
于是,.
而,,得,
,解得,,所以.
又平面,
所以和的夹角等于或(为锐角).
于是.
故.
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