题目内容

(本题满分14分)
如图,已知是棱长为的正方体,点上,点上,且
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点上,,点上,,垂足为,求证:平面;(4分)
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.(4分

(1)略
(2)略
(3)
(1)如图,在上取点,使,连结, 
,则
因为,所以四边形都为平行四边形.
从而
又因为,所以,故四边形是平行四边形,
由此推知,从而
因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以

因为,所以为平行四边形,从而
平面,所以平面
(3)如图,连结
因为
所以平面,得
于是是所求的二面角的平面角,即
因为,所以


解法二:
(1)建立如图所示的坐标系,则
所以,故共面.
又它们有公共点,所以四点共面.
(2)如图,设,则
,由题设得

因为
,所以
,从而
平面
(3)设向量截面
于是
,得
,解得,所以
平面
所以的夹角等于为锐角).
于是
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