题目内容

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2
(Ⅰ)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.
(Ⅲ)设cn=2nbn,求数列{cn}的前n项和Sn
(I)由a1=1,Sn+1=4an+2,
有a1+a2=4a1+2,
∴a2=3a1+2=5,
∴b1=a2-2a1=3…(1分)
由Sn+1=4an+2,…①
则当n≥2时,有Sn=4an-1+2…②
②-①得an+1=4an-4an-1
∴an+1-2an=2(an-2an-1)…(3分)
又bn=an+1-2an
∴bn=2bn-1
∴数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.…(4分)
(II)由(I)可得bn=an+1-2an=3•2n-1
an+1
2n+1
-
an
2n
=
3
4

∴数列{
an
2n
}是首项为
1
2
,公差为
3
4
的等差数列,…(6分)
an
2n
=
1
2
+(n-1)×
3
4
=
3
4
n-
1
4

∴an=(3n-1)•2n-2,…(8分)
(III)由(II)知,cn=2nbn=3n•2n,则
Sn=3(1•2+2•22+3•23+…+n•2n),…(10分)①
2Sn=3(1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1),②
①-②,得
-Sn=3(2+22+23+…+2n)-3n•2n+1,…(12分)
=3(1-n)2n+1-6,
所以Sn=3(n-1)2n+1+6.…(14分)
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