题目内容
【题目】设直线及直线外一点.
(1)写出点到直线的距离公式;
(2)利用向量求证点到直线的距离公式.
【答案】详情见解析
【解析】试题分析:(1)写出平面直角坐标系中,点到直线的距离公式即可;
(2)证明公式时应讨论B=0或A=0以及A≠0,且B≠0时,点到直线l的距离公式是什么,分别求出即可.
试题解析:
(1)平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为
;
(2)证明:设PQ垂直直线l于Q,
当B=0时,直线l为:x=CA,所以,满足公式;
当A=0时,直线l为:y=CB,所以,满足公式;
当A≠0,且B≠0时,直线l与x轴、y轴都相交,
过点P作x轴的平行线,交l与点R(x1,y0),作y轴的平行线交l于点S(x0,y2),
如图所示:
把点R的坐标代入l的方程,求出x1=By0+CA,
把点S的坐标代入l的方程,求出y2=Ax0+CB,
所以|PR|=|x0x1|=|Ax0+By0+CA|,
|PS|=|y0y2|=|Ax0+By0+CB|,
|RS|= ;
由三角形的面积公式,得d|RS|=|PR||PS|,
所以d=|PQ|= ;
综上,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为
.
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