Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m．
（1）求实数m的值，使f（x）为奇函数；
（2）对（1）中的f（x），若f^-1（x）是它的反函数，且方程f^-1（x）+$\frac{1}{x}$=c²+2在[$\frac{5}{8}$，3]上有解．求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（-x）=$\frac{1}{{3}^{-x}-1}+m$=$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+m=$\frac{1}{1-{3}^{x}}$-m=-f（x），由此能求出m．
（2）由已知得${f}^{-1}（x）+\frac{1}{x}=lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{x}$，从而f^-1（x）与$\frac{1}{x}$的导数都小于0，进而F（3）≤c²+2≤F（$\frac{5}{8}$），由此能求出实数c的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m为奇函数，
∴f（-x）=$\frac{1}{{3}^{-x}-1}+m$=$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+m=$\frac{1}{1-{3}^{x}}$-m=-f（x），
∴$\frac{1-{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$=2m，解得m=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．
∴3^x=$\frac{2y+1}{2y-1}$，x=$lo{g}_{3}\frac{2y+1}{2y-1}$，
x，y互换，得f^-1（x）=$lo{g}_{3}\frac{2x+1}{2x-1}$=$lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）$，
∴${f}^{-1}（x）+\frac{1}{x}=lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{x}$，
∵f^-1（x）与$\frac{1}{x}$的导数都小于0，
∴F（x）=${f}^{-1}（x）+\frac{1}{x}$=$lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{x}$单调递减，
∵f^-1（x）+$\frac{1}{x}$=c²+2在[$\frac{5}{8}$，3]上有解，
∴F（3）≤c²+2≤F（$\frac{5}{8}$），
∵F（$\frac{5}{8}$）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{\frac{5}{8}-\frac{1}{2}}+1）+\frac{8}{5}$=$\frac{18}{5}$，F（3）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{3}$=$lo{g}_{3}\frac{7}{5}+\frac{1}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}+2≤\frac{18}{5}}\\{{c}^{2}+2≥lo{g}_{3}\frac{7}{5}+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{2\sqrt{10}}{5}≤c≤\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴实数c的取值范围是[-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]．

点评 本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．