题目内容
6.设a,b,c都是正数,证明不等式$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$$≥\frac{1}{2}$(a+b+c)当且仅当a=b=c时取等号.分析 利用柯西不等式的变形$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$≥$\frac{({a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n})^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}$化简即得结论.
解答 证明:柯西不等式的变形$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$≥$\frac{({a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n})^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}$得:
$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{(a+b+c)^{2}}{(b+c)+(c+a)+(a+b)}$=$\frac{1}{2}$(a+b+c).
点评 本题考查不等式的证明,利用柯西不等式的变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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14.设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,则下列结论正确的是( )
A. | A,B相互独立 | B. | A,B互不相容 | C. | P(A+B)=P(A)+P(B) | D. | B?A |
1.设集合U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,4}则∁U(A∪B)=( )
A. | {1,2,4} | B. | {0,3,5} | C. | {0,1,3,4,5} | D. | ∅ |
11.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本的平均数$\overline{x}$=2.5,$\overline{y}$=3.5,则由观测的数据得线性回归方程可能为( )
A. | $\stackrel{∧}{y}$=0.4x+2.5 | B. | $\stackrel{∧}{y}$=2x-2.4 | C. | $\stackrel{∧}{y}$=-2x+9.5 | D. | $\stackrel{∧}{y}$=-0.3x+4.4 |