题目内容

2．设点P是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上任一点，过P的直线与两渐近线分别交P1P2，且$\overrightarrow{{P}_{1}P}=2\overrightarrow{P{P}_{2}}$，双曲线离心率e=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，设O为坐标原点，△OP1P2的面积为27，求双曲线方程．

分析 先计算△OP1P2的面积S=$\frac{1}{2}$•|OP1|•|OP2|sin2θ=$\frac{9}{8}$ab=27，再结合双曲线离心率e=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，求出a，b，即可求双曲线方程．

解答 解：设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则y1=$\frac{b}{a}$x1，y2=-$\frac{b}{a}$x2，
∵$\overrightarrow{{P}_{1}P}=2\overrightarrow{P{P}_{2}}$，
∴x=$\frac{1}{3}$（x1+2x2），y=$\frac{1}{3}$（y1+2y2）=$\frac{b}{3a}$（x1-2x2），
由点P（x，y）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1a＞0，b＞0）上，
∴代入，化简得：x1x2=$\frac{9}{8}{a}^{2}$，
又|OP1|=$\frac{c}{a}$|x1|，同理可得|OP2|=$\frac{c}{a}$|x2|，
∴|OP1|•|OP2|=$\frac{c}{a}$|x1|•$\frac{c}{a}$|x2|=$\frac{9}{8}{c}^{2}$．
设直线OP1与OP2所成的夹角为2θ，∵tanθ=$\frac{b}{a}$，
∴sin2θ=$\frac{2tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2ab}{{c}^{2}}$，
∴△OP1P2的面积S=$\frac{1}{2}$•|OP1|•|OP2|sin2θ=$\frac{9}{8}$ab=27，
∴ab=24，
∵e=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{4}$，
∴a=4，b=6，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

点评 本题考查双曲线的标准方程与性质的综合应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系，求得△OP1P2的面积S=$\frac{1}{2}$•|OP1|•|OP2|sin2θ=$\frac{9}{8}$ab是难点，也是关键，属于难题．

练习册系列答案
相关题目
12．根据如图所示的伪代码，最后输出的值为205．
13．已知A={x|-3≤x≤4}，B={m-1≤x≤m+1}，B⊆A，则m∈[-2，3]．
10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第7个图案中有白色地面砖30块．
17．已知函数f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m．
（1）求实数m的值，使f（x）为奇函数；
（2）对（1）中的f（x），若f-1（x）是它的反函数，且方程f-1（x）+$\frac{1}{x}$=c2+2在[$\frac{5}{8}$，3]上有解．求实数c的取值范围．
7．不等式a|x+$\frac{3}{2}$|-（a-1）≤a2+2-a|x-2|有解，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．
14．设P（A）=0.8，P（B）=0.7，P（A|B）=0.8，则下列结论正确的是（　　）
A．A，B相互独立B．A，B互不相容C．P（A+B）=P（A）+P（B）D．B?A
11．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数$\overline{x}$=2.5，$\overline{y}$=3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为（　　）
A．$\stackrel{∧}{y}$=0.4x+2.5B．$\stackrel{∧}{y}$=2x-2.4C．$\stackrel{∧}{y}$=-2x+9.5D．$\stackrel{∧}{y}$=-0.3x+4.4
12．下列命题中为真命题的是（　　）
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题D．命题“若x2＞x，则x＞1”的逆否命题

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网