题目内容
5．定义：将圆心不同的两圆方程C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r12与C2：（x-a2）2+（y-b2）2=r22两边分别相减所得的直线m称为两圆的根轴．（1）求证：“根轴”所在直线m与两圆圆心的连线垂直；
（2）求证：“根轴”所在直线m上在圆外部分的点到两圆的切线长相等；
（3）利用上述方法判断，对于圆C：x2+y2-2x+4y-4=0来说，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆，经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
分析 （1）由条件利用“根轴”的定义，根据圆心和公共弦的中点的连线垂直且平分弦，可得“根轴”所在直线m与两圆圆心的连线垂直．
（2）证明：设点M是：“根轴”所在直线m上在圆外部分的点，如图所示：MP、MQ分别为两圆的切线长，则由切割线定理可得MP=MQ．
（3）假设存在直线l：y=x+b，把它代入圆的方程可得2x2+（2b+2）b2+4b-4=0 ①，设A（x1，y1）、B（ x2，y2），利用韦达定理、以及OA⊥OB，可得 x1•x2+y1•y2=0，求得b=1，或b=-4．再把b=1，或b=-4代入①检验，判别式均大于零，可得满足条件的直线有两条．
解答 
解：（1）证明：由题意可得“根轴”即两圆的公共弦所在的直线，再根据两圆相交的性质可得，
圆心和公共弦的中点的连线垂直且平分弦，
故“根轴”所在直线m与两圆圆心的连线垂直．
（2）证明：设点M是：“根轴”所在直线m上在圆外部分的点，如图所示：MP、MQ分别为两圆的切线长，
则由切割线定理可得MA•MB=MP2，MA•MB=MQ2，∴MP=MQ，
即“根轴”所在直线m上在圆外部分的点到两圆的切线长相等．
（3）假设存在直线l：y=x+b，则由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，可得2x2+（2b+2）b2+4b-4=0 ①，
设A（x1，y1）、B（ x2，y2），则x1+x2=-b-1，x1•x2=$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$，
∴y1•y2=（x1+b）（x2+b）=x1•x2+b（x1+x2）+b2=$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$+b（-b-1）+b2=$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$．
又OA⊥OB，∴x1•x2+y1•y2=0，即 $\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$+$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$=0，求得b=1，或b=-4．
再把b=1，或b=-4代入①检验，判别式均大于零，故满足条件的直线有两条，即 x-y+1=0 x-y-4=0．
点评 本题主要考查新定义，圆的切割线定理，直线和圆相交的性质，属于中档题．
| A． | A，B相互独立 | B． | A，B互不相容 | C． | P（A+B）=P（A）+P（B） | D． | B?A |