Question

【题目】如图所示，已知椭圆C1：+=1，C2：+=1（a＞b＞0）有相同的离心率，F（﹣ ， 0）为椭圆C2的左焦点，过点F的直线l与C1、C2依次交于A、C、D、B四点．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）求证：无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|

Answer 1

【答案】（1）解：椭圆C1：+=1的离心率为=，
对于C2：+=1（a＞b＞0）的c=，由条件得，=，则a=2，b=1，
则椭圆C2的方程为：+y2=1；
（2）证明：当直线l垂直于x轴时，可得A（﹣，﹣），B（﹣，），C（﹣，﹣），D（﹣，）
即有|AC|=|BD|；
当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），
由消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣10=0，
由消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），
则x1+x2=x3+x4=﹣，即有AB，CD的中点重合，则有|AC|=|BD|．
故无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|
【解析】（1）求得椭圆C1的离心率，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆椭圆C2的方程；
（2）当直线l垂直于x轴时，可得A，B，C，D的坐标，计算即可得到|AC|=|BD|；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，再由中点坐标即可得到|AC|=|BD|；
（3）若|AC|=1，由（2）得，|AB|=|CD|+2，当直线l垂直于x轴时，不满足题意；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），由（2）运用弦长公式，化简整理，得到8k4﹣2k2﹣1=0，解方程即可得到．