Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)＝e2x－aln x.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.

Answer 1

【答案】（1）当a≤0时没有零点．当a>0时存在唯一零点．（2）见解析

【解析】试题分析：(1) 先求导数，根据a确定导函数零点个数，(2)先确定f(x)最小值，再根据基本不等式求最值，确定不等式

试题解析：解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ (x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点．

当a>0时，因为e2x单调递增，－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<且b<时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．

(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0.当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．

由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.

故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.