Question

【题目】已知函数．

(I)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；

(Ⅲ)比较与的大小，并加以证明.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) ，证明见解析.

【解析】试题分析：(I)由切线斜率为及，由点斜式求切线即可；

(Ⅱ)由题意只需证明方程 在区间有唯一解，设函数 由单调性证明即可；

(Ⅲ) 首先证明当时， ，由即可证得.

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域是，

导函数为．

所以， 又，

所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）由已知．

所以只需证明方程 在区间有唯一解．

即方程 在区间有唯一解．

设函数 ，

则 ．

当 时， ，故在区间单调递增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．

（Ⅲ）．证明如下：

首先证明：当时， ．

设 ，

则 ．

当 时， ， ，

所以 ，故在单调递增，

所以 时，有，

即当 时，有．

所以 ．