题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
为矩形,侧面
为正三角形,且平面
平面,
为
中点,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若二面角的平面角大小
满足
,求四棱锥
的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)由正三角形性质可得,再利用面面垂直的性质定理得
平面
,从而
,则
,由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得
平面
;(Ⅱ)建立空间直角坐标系
,令
,求出平面
的法向量以及平面
的法向量,根据二面角
的平面角大余弦值列方程求出
,利用棱锥的体积公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)取中点为
,
中点为
,
由侧面为正三角形,且平面
平面
知
平面
,故
,
又,则
平面
,所以
,
又,则
,又
是
中点,则
,
由线面垂直的判定定理知平面
,
又平面
,故平面
平面
.
(Ⅱ)
如图所示,建立空间直角坐标系,
令,则
.
由(Ⅰ)知为平面
的法向量,
令为平面
的法向量,
由于均与
垂直,
故即
解得
故,由
,解得
.
故四棱锥的体积
.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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