题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数的最小值.
(Ⅱ)是否存在一次函数,使得对于
,总有
,且
成立?若存在,求出
的表达式;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)表示出,用导数判断其单调性,根据单调性即可求出最小值;
(2)由(Ⅰ)知,从而得
,于是h(x)可表示为关于k的一次函数,根据f(x)≥h(x)恒成立可求得k值,从而可求得h(x)表达式,再验证h(x))≥g(x)对一切x>0恒成立即可;
试题解析:(Ⅰ) 的定义域为
,
,
,
易知时,
,
时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴当时,
取得最小值为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
所以,
故可证,代入
,
得恒成立,
∴,
∴,
,
设,则
,
当时,
,当
时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,
即对一切
恒成立,
综上,存在一次函数,使得对于
,总有
,
且,
.
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