题目内容

已知过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点.
(1)求弦AB中点的轨迹方程;
(2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(x,y),则
∵过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点,
∴x12+3y12=6,x22+3y22=6,
两式相减可得2x(x1-x2)+6y(y1-y2)=0,
y1-y2
x1-x2
=-
x
3y

∵弦AB的斜率为
y
x-1

y
x-1
=-
x
3y

化简可得弦AB中点轨迹方程为x2+3y2-x=0.
(2)设直线AB方程为x=my+1,代入x2+3y2=6中,化简得(m2+3)y2+2my-5=0,于是y1+y2=
-2m
m2+3
y1y2=
-5
m2+3

S△ABF=S△AMF+S△BMF=
1
2
|AF||y1-y2|
,F(-2,0)
S2=
9
4
(y1-y2)2=
27(2m2+5)
(m2+3)2
=-27[
1
(m2+3)2
-
2
m2+3
]

t=
1
m2+3
,则0<t≤
1
3
S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27

t=
1
3
时,S有最大值,最大值为
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