题目内容
已知过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点.
(1)求弦AB中点的轨迹方程;
(2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
(1)求弦AB中点的轨迹方程;
(2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(x,y),则
∵过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点,
∴x12+3y12=6,x22+3y22=6,
两式相减可得2x(x1-x2)+6y(y1-y2)=0,
∴
=-
,
∵弦AB的斜率为
,
∴
=-
,
化简可得弦AB中点轨迹方程为x2+3y2-x=0.
(2)设直线AB方程为x=my+1,代入x2+3y2=6中,化简得(m2+3)y2+2my-5=0,于是y1+y2=
,y1y2=
.
又S△ABF=S△AMF+S△BMF=
|AF||y1-y2|,F(-2,0)
∴S2=
(y1-y2)2=
=-27[
-
].
令t=
,则0<t≤
.S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27.
∴t=
时,S有最大值,最大值为
.
∵过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点,
∴x12+3y12=6,x22+3y22=6,
两式相减可得2x(x1-x2)+6y(y1-y2)=0,
∴
y1-y2 |
x1-x2 |
x |
3y |
∵弦AB的斜率为
y |
x-1 |
∴
y |
x-1 |
x |
3y |
化简可得弦AB中点轨迹方程为x2+3y2-x=0.
(2)设直线AB方程为x=my+1,代入x2+3y2=6中,化简得(m2+3)y2+2my-5=0,于是y1+y2=
-2m |
m2+3 |
-5 |
m2+3 |
又S△ABF=S△AMF+S△BMF=
1 |
2 |
∴S2=
9 |
4 |
27(2m2+5) |
(m2+3)2 |
1 |
(m2+3)2 |
2 |
m2+3 |
令t=
1 |
m2+3 |
1 |
3 |
∴t=
1 |
3 |
15 |

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