Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为原点，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程．

Answer 1

（1）证明：由题意知，直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0．
曲线C的方程配方得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴直线l与圆C相切的充要条件是1=

|a+b-ab|

a2+b2

，
整理得ab-2a-2b+2=0，
即（a-2）（b-2）=2；
（2）设AB的中点为M（x，y），
则由中点坐标公式得：a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得
（2x-2）（2y-2）=2，
即 （x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1），
∴线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1）．