Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若函数是R上的增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）讨论函数在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）当时，函数有且只有一个零点，当时，函数有两个零点.

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得，求出导函数，由题意可得恒成立，即恒成立，根据一元二次不等式式恒成立分类讨论的取值范围即可求解.

（Ⅱ）函数，令，求导得，分类讨论：当时，判断函数的单调递增，由，从而可得函数的零点个数；当时，设，求导可得在上递增，由，讨论的正负，从而可得的单调性，进而可得到函数在的零点个数.

（Ⅰ），求导得

因为函数是上的增函数，所以恒成立.

当时，满足题意.

当时，由且，解得.

综上，实数的取值范围是.

（Ⅱ）函数，

令

求导得

（1）当时，在上恒成立，所以在上单调递增，

又，所以在上有且只有一个零点.

（2）当时，设，

因为恒成立，所以在上递增.

又

①当，即时，恒成立，

所以在上单调递增，又，

所以在上有且只有一个零点.

②当，即时，，

所以存在唯一实数使得.

在上单调递减，在上单调递增.

又因为，所以

当，即时，有且只有一个零点

当，即时，有两个零点.

综上：当时，函数有且只有一个零点，当时，函数有两个零点.