题目内容
【题目】已知函数x3
x2﹣2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数的单调递减区间;
(2)若对于任意x∈都有
成立,求实数a的取值范围;
(3)若过点可作函数
图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(﹣∞,1)和(2,+∞);(2)(﹣1,8);(3)(2,+∞).
【解析】
(1)当a=3时,,得
=﹣x2+3x﹣2,则由
0求解.
(2)由,得
,根据对于任意x∈[1,+∞)都有
2(a﹣1)成立,则转化为,对于任意x∈[1,+∞)都有[
]max
2(a﹣1).因为
,再利用二次函数的图象和性质求解.
(3)设点是函数y=f(x)图象上的切点,过点P的切线方程为
. 根据点
在切线上,整理得
.,根据过点
可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,则方程
有三个不同的实数解,再令
,要求函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点即可.
(1)当a=3时,,得
=﹣x2+3x﹣2.
因为0,得x
1或x
2,
所以函数f(x)单调递减区间为(﹣∞,1)和(2,+∞).
(2)由,得
,
因为对于任意x∈[1,+∞)都有2(a﹣1)成立,
所以问题转化为,对于任意x∈[1,+∞)都有[]max
2(a﹣1).
因为,其图象开口向下,对称轴为
.
①当时,即a
2时,f'(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以max=
=a﹣3,
由a﹣32(a﹣1),得a
﹣1,此时﹣1
a
2.
②当时,即a
2时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,
由,得0
a
8,此时2
a
8.
综上①②可得,实数a的取值范围为(﹣1,8).
(3)设点是函数y=f(x)图象上的切点,
则过点P的切线的斜率为k==﹣t2+at﹣2,
所以过点P的切线方程为.
因为点在切线上,
所以,
即.
若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解.
令,则函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点.
令=2t2﹣at=0,解得t=0或
.
因为,
,
所以必须,即a
2.
所以实数a的取值范围为(2,+∞).
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