Question

11．已知函数f（x）=（2x-a+1）ln（x+a+1）的定义域为（-a-1，+∞），若f（x）≥0恒成立，则a的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 对对数函数分类讨论：当0＜x+a+1≤1时，有ln（x+a+1）≤0，欲使?x，f（x）≥0恒成立，则$\frac{a-1}{2}$≥-a；当x+a+1＞1时，x＞-a时，欲使?x，f（x）≥0恒成立，则$\frac{a-1}{2}$≤-a，得出答案．

解答 解：当0＜x+a+1≤1时，-a-1＜x≤-a时，
有ln（x+a+1）≤0，
∵f（x）≥0，
∴2x-a+1≤0，x≤$\frac{a-1}{2}$
欲使?x，f（x）≥0恒成立，则$\frac{a-1}{2}$≥-a，
∴a≥$\frac{1}{3}$；
当x+a+1＞1时，x＞-a时，
有ln（x+a+1）＞0，
∵f（x）≥0，
∴2x-a+1＞0，x＞$\frac{a-1}{2}$
欲使?x，f（x）≥0恒成立，则$\frac{a-1}{2}$≤-a，
∴a≤$\frac{1}{3}$；
故a=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 考查了分类讨论和恒成立问题的理解，难点是如何理解恒成立问题，以对数函数为主．