Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{kx^2-4kx+k+8}}$的定义域为R，则实数k的取值集合{k|0≤k＜$\frac{8}{3}$}．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的定义域为R，得出不等式kx²-4kx+k+8＞0恒成立，讨论k的取值，求出满足题意的实数k的取值集合即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{kx^2-4kx+k+8}}$的定义域为R，
∴kx²-4kx+k+8＞0恒成立；
当k=0时，8＞0，满足题意，
当k≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{1{6k}^{2}-4k（k+8）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{0＜k＜\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
即0≤k＜$\frac{8}{3}$；
∴实数k的取值集合是{k|0≤k＜$\frac{8}{3}$}．
故答案为：{k|0≤k＜$\frac{8}{3}$}．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．