Question

2．以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{19}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 设出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，求出离心率的平方，将直线方程代入椭圆方程得得到的关于x的一元二次方程的判别式大于0，求出 b² 的最小值，此时的离心率最大，离心率最大的椭圆方程可得．

解答 解：由题意知，c=1，a²-b²=1，故可设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
离心率的平方为：$\frac{1}{{b}^{2}+1}$   ①，
∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得
（2b²+1）x²+6（b²+1）x+8b²+9-b⁴=0，
由△=36（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（ 8b²+9-b⁴ ）≥0，
∴b⁴-3b²-4≥0，∴b²≥4，或 b²≤-1 （舍去），
∴b² 的最小值为4，
∴①的最大值为 $\frac{1}{5}$，此时，a²=b²+1=5，
∴离心率最大的椭圆方程是：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，利用直线和椭圆有交点可得判别式大于或等于0．求解b的最大值是解题的关键．