Question

1．已知六棱柱 A BCD EF-A₁ B₁C₁D₁ E₁F₁的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为$12\sqrt{3}$，则该六棱柱外接球的表面积等于32π．

Answer 1

分析 根据题意，利用六棱柱的侧面积为48，底面积为$12\sqrt{3}$，求出底面边长、侧棱长，利用勾股定理算出该六棱柱外接球的半径，再由球的表面积公式即可算出答案．

解答 解：设AB=a，AA₁=b，则
∵六棱柱的侧面积为48，底面积为$12\sqrt{3}$，
∴6ab=48，$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•6•2$=12$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=4，
∴该正六棱柱的外接球的半径R=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$．
∴该正六棱柱的外接球的表面积S=4πR²=32π．
故答案为：32π．

点评 本题给出六棱柱侧棱与底面垂直，六棱柱的侧面积为48，底面积为$12\sqrt{3}$，求它的外接球的表面积．考查几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．