题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断并证明函数在
上的单调性;
(2)当时,函数
的最大值与最小值之差为
,求
的值.
【答案】(1)函数在
上单调递增,证明见解析;(2)
.
【解析】
(1)方法一:利用单调性的定义来证明函数在区间
上的单调性;
方法二:利用平均变化率的定义得出函数在区间
上的平均变化率
的正负来得出函数
在区间
上的单调性;
(2)由(1)中的结论可知,函数在区间
上单调递增,可得出该函数在区间
上的最大值和最小值,再利用函数
的最大值与最小值之差为
,可求出实数
的值.
(1)函数在
上单调递增.证明如下:
方法一:,
且
,又
,
则.
因为,所以
,
,
,
所以,即
.
所以函数在
上单调递增;
方法二:,
,设
,
.
又因为、
,所以
,
,故
,
因此,函数在
上单调递增;
(2)由(1)知函数在
上单调递增,
此时函数的最大值为
,最小值为
,
所以,即
,解得
.

练习册系列答案
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步数/步 | 10000以上 | ||||
男生人数/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人数/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”,否则为“懈怠性”.
(1)填写下面列联表(单位:人),并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”;
积极性 | 懈怠性 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯,从步行数在的人群中再随机抽取3人,求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.