题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,判断
是否为
的极值点,并说明理由;
(2)记.若函数
存在极大值
,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)将代入可得
,即
,对函数
进行求导,令
,再次进行求导,通过
与0的关系,得到
的单调性及最小值为0,即
恒成立,可得结果;(2)求导可得
,对
进行讨论,分为
,
,
和
四种情形,判断单调性得极值,得其极值
,再求出
的最值即可.
试题解析:(1)由,可得
,故
.
不是
的极值点.
理由如下:.
记,则
.
由,解得
;由
,解得
,
所以在
单调递减,在
单调递增,
故
,即
在
恒单调递增,
故不是
的极值点.
(2)依题意,.
则.
①时,
在
恒成立,
在
恒成立,
所以在
上先减后增,故
在
上有极小值,无极大值,应舍去.
②时,
在
恒成立,
在
恒成立,
所以在
上先减后增,故
在
上有极小值,无极大值,应舍去.
③时,由
得
和
,
大于 | 小于 | 大于 | |
单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |
因为,故有下列对应关系表:
故,
记,
因为在
上单调递减,
所以.
④当时,因为
,故
大于 | 小于 | 大于 | |
单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |
故,
设,
记,
则,令
得
和
(舍去),
小于 | 大于 | |
单调递减 | 单调递增 |
故.
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练习册系列答案
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【题目】某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格(单位:千元/平方米)的统计数据如下表:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售价格 | 3 | 3.4 | 3.7 | 4.5 | 4.9 | 5.3 | 6 |
(1)求关于x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况,并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格。
附:参考公式: ,
,其中
为样本平均值。
参考数据:
.