题目内容
【题目】在如图所示的五面体中,四边形是矩形,平面
平面
,且
,
,
,
,点
在
上.
求证:(1)平面
(2)平面
平面
【答案】详见解析
【解析】
(1)先证明平面平面
,进而由面面平行可得线面平行;
(2)利用勾股定理的逆定理证明直线,由面面垂直的性质得到
平面
,进而可得
平面
,从而可得平面
平面
.
证明:(1)连结DM
∵AB∥EF,AB=EF,M是EF的中点,
∴AB∥EM且ABEM,四边形ABEM是平行四边形,
∴AM∥BE,又∵AM平面BCE,BE平面BCE,
∴AM∥平面BCE.∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,又BC平面BCE,AD平面BCE,∴AD∥平面BCE,
又AD平面ADM,AM平面ADM,AD∩AM=A,
∴平面ADM∥平面BCE,
又DN平面ADM,
∴DN∥平面BCE(2)由(1)知AM=BE=2,
∵AF=BE=2,MF=EF=
∴AM2+AF2=MF2,∴AM⊥AF.
∵平面ADF⊥平面ABEF,平面ADF∩平面ABEF=AF,AM平面ABEF,
∴AM⊥平面DAF,∵DA平面DAF,
∴AM⊥DA,
又∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥AB,
∵AB平面ABEF,AM平面ABEF,AB∩AM=A,
∴AD⊥平面ABEF,又AD平面ABCD,
∴平面ABEF⊥平面ABCD
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