Question

12．已知函数f（x）=ax-$\frac{2}{x}$-3lnx，其中a为常数．
（1）当函数f（x）的图象在点（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在[$\frac{3}{2}$，3]上最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数f′（x），由题意和导数的几何意义列出关于a的方程，解出a代入f′（x）化简，由导数的符号可求得函数的极小值，同时也为最小值；
（2）先化简f′（x），将条件转化为：“f′（x）=0有两个不等正实根“，再根据两根之和、两根之积大于0及判别式符号可得不等式组，求出a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，$f′（x）=a+\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{3}{x}$，
因为f（x）的图象在点（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））处的切线的斜率为1，
所以$f′（\frac{2}{3}）=1$，解得a=1，
则$f′（x）=1+\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
所以当$\frac{3}{2}≤x$＜2时，f′（x）＜0，当2＜x≤3时，f′（x）＞0，
则x=2是f（x）的极小值点，也是最小值点，
所以f（x）_min=f（2）=1-3ln2；
（2）$f′（x）=a+\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{3}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-3x+2}{{x}^{2}}$，
因为f（x）在（0，+∞）上既有极大值也有极小值，
所以f′（x）=0即ax²-3x+2=0有两个不等的正实根，
不妨设这两个正实根为x₁、x₂，并令h（x）=ax²-3x+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=9-8a＞0}\\{\frac{3}{a}＞0}\\{\frac{2}{a}＞0}\end{array}\right.$，解得0$＜a＜\frac{9}{8}$，
所以a的取值范围是（0，$\frac{9}{8}$）．

点评 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，以及二次方程根的问题，考查了转化思想和分析解决问题的能力．