题目内容
【题目】已知椭圆 + =1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为 ﹣1,短轴长为2 . (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为 ,求直线AB的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由题意, ,解得a= ,c=1. 即椭圆方程为 =1
(Ⅱ)当直线AB与x轴垂直时,|AB|= ,此时S= 不符合题意,故舍掉;
当直线AB与x轴不垂直时,设直线 AB的方程为:y=k(x+1),代入消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+(3k2﹣6)=0.
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则 ,所以|AB|= .
原点到直线的AB距离d= ,
所以三角形的面积S= .
由S= 可得k2=2,∴k=± ,
所以直线AB: =0或AB: =0
【解析】(Ⅰ)根据椭圆右顶点与右焦点的距离为 ,短轴长为 ,可得 ,由此,即可求得椭圆方程;(Ⅱ)当直线AB与x轴垂直时, ,此时 不符合题意;当直线AB与x轴不垂直时,设直线 AB的方程为:y=k(x+1),代入消去y得,进而可求三角形的面积,利用 ,即可求出直线AB的方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:).
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