题目内容

【题目】已知定圆C:x2+(y﹣3)2=4,定直线m;x+3y+6=0,过A(﹣1,0)的一条动直线l与直线相交于N,与圆C相交于P,Q两点,
(1)当l与m垂直时,求出N点的坐标,并证明:l过圆心C;
(2)当|PQ|=2 时,求直线l的方程.

【答案】
(1)解:因为l与m垂直,直线m:x+3y+6=0的斜率为﹣

所以直线l的斜率为3,

所以l的方程为y﹣0=3(x+1),即3x﹣y+3=0.

联立 ,解得

即有N(﹣ ,﹣ ),

代入圆心(0,3),有0﹣3+3=0成立,

所以直线l过圆心C(0,3)


(2)解:由|PQ|=2 得,圆心C到直线l的距离d=1,

设直线l的方程为x﹣ny+1=0,则由d= =1.

解得n=0,或n=

所以直线l的方程为x+1=0或4x﹣3y+4=0


【解析】(1)运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得l的斜率,可得直线l的方程,联立直线m的方程,可得交点N,代入圆心,可得直线l过圆心;(2)由|PQ|=2 得,圆心C到直线l的距离d=1,设直线l的方程为x﹣ny+1=0,求得n的值,可得直线l的方程.

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